状态转移方程

Beyond2024-09-262024-09-26

状态转移方程

1.定义

** **状态转移方程是动态规划（Dynamic Programming, DP）中的一个核心概念，它描述了从一个状态转移到另一个状态时的变化规则。在解决优化问题时，特别是当问题可以分解为重叠的子问题时，动态规划通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。状态转移方程就是用来描述这种“状态”如何根据“决策”转移到下一个“状态”的数学表达式。

** **在经典的爬楼梯问题中，状态转移方程是 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。

** **让我们一步步解析这个状态转移方程：

2.基本概念

状态（State）：描述问题在某个阶段（或称为某个时刻）的完整信息，通常用一个或多个变量来表示。
决策（Decision）：在某个状态下，为了到达下一个状态或解决问题，需要作出的选择或行动。
状态转移方程（State Transition Equation）：描述从一个状态转移到另一个状态所需遵循的规则或方程。

3.示例

**假设我们有一个经典的动态规划问题：斐波那契数列（Fibonacci Sequence），其中每个数是前两个数的和，即 **F(n)=F(n−1)+F(n−2)，且 F(0)=0,F(1)=1。

在这个问题中：

状态：F(n)，表示斐波那契数列的第 n 项。
**决策：由于这是一个简单的递推关系，实际上没有显式的“决策”过程，但我们可以理解为在每个 **n 上，我们都需要根据 F(n−1) 和 F(n−2) 来计算 F(n)。
状态转移方程：F(n)=F(n−1)+F(n−2)。

4.另一个例子：最长公共子序列（LCS）

**在LCS问题中，给定两个序列 **X={x1,x2,…,x**m} 和 Y={y1,y2,…,y**n}，我们需要找到它们的最长公共子序列的长度。

状态：Ci，表示 X 的前 i 个字符和 Y 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
**决策：对于每个 **Ci，我们需要决定 x**i 和 y**j 是否在LCS中。
状态转移方程：
- **如果 **x**i=y**j，则 Ci=Ci−1+1（即 x**i 和 y**j 都在LCS中）。
- **如果 x**i\=**y**j，则 Ci=max(Ci−1,Ci)（即 x**i 或 y**j 不在LCS中，取两者中较长的那个）。